Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足：2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=n（n∈N^*），b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$，設數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，則S₁•S₂•S₃•…•S₁₀=$\frac{1}{11}$．

Answer 1

分析 利用數(shù)列遞推關系可得a_n，再利用“裂項求和”方法可得S_n，進而利用“累乘求積”方法得出．

解答 解：數(shù)列{a_n}滿足：2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=n（n∈N^*），
∴n≥2時，2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2^n-1a_n-1=n-1，
∴2ⁿa_n=1，∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$．
b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
則S₁•S₂•S₃•…•S₁₀=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$×…×$\frac{9}{10}×\frac{10}{11}$=$\frac{1}{11}$．
故答案為：$\frac{1}{11}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關系、“裂項求和”方法、“累乘求積”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．