Question

10．已知向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AD}$滿足$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{AD}$|=1，E、F分別是線段BC、CD的中點(diǎn)，若$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BF}$=-$\frac{5}{4}$，則向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AD}$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，結(jié)合$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BF}$求得＜$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CD}$＞的值，即可求出向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AD}$的夾角．

解答 解：如圖所示，
$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BF}$=（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CD}$）•（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CD}$-$\overrightarrow{CB}$）=$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CD}$-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{CB}}^{2}$-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{CD}}^{2}$=-$\frac{5}{4}$；
由|$\overrightarrow{CD}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=2，|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AD}$|=1，
可得$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CD}$=1，
∴cos＜$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{1}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{π}{3}$，
即向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AD}$的夾角為$\frac{π}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算問題，也考查了向量的加法、減法運(yùn)算問題，是綜合題．