Question

20．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦點為F，O為坐標原點，以F為圓心，$2\sqrt{3}a$為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P、Q兩點，且$\overrightarrow{FP}$•$\overrightarrow{FQ}$=-6a²，若$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OQ}$，則λ=-2或-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，P在x軸上方，Q在x軸的下方，H為PQ的中點，運用圓的垂徑定理和點到直線的距離公式可得FH=b，再由向量數(shù)量積的定義可得∠PFQ=120°，進而判斷PF⊥OF，求得c=2a，PQ=6a，OP=4a，OQ=2a，進而得到λ，由P在x軸下方，Q在x軸的上方，可得λ的另一個值．

解答 解：設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
P在x軸上方，Q在x軸的下方，
H為PQ的中點，可得FH⊥PQ，
由F（c，0）到漸近線的距離為d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，
由$\overrightarrow{FP}$•$\overrightarrow{FQ}$=-6a²，可得2$\sqrt{3}$a•2$\sqrt{3}$a•cos∠PFQ=-6a²，
解得∠PFQ=120°，
FH=b=2$\sqrt{3}$a•cos60°=$\sqrt{3}$a，
則漸近線的斜率為$\sqrt{3}$，∠POF=60°，
由∠OPF=30°，可得PF⊥OF，
則c=2$\sqrt{3}$a•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2a，
OP=2c=4a，OQ=PQ-OP=2PH-4a=2•2$\sqrt{3}$a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$-4a=2a，
由$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OQ}$，可得λ＜0，
且λ=-2；
當P在x軸下方，Q在x軸的上方，
可得λ=-$\frac{1}{2}$．
即有λ=-2或-$\frac{1}{2}$．
故答案為：-2或-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程的運用，考查直線和圓的位置關(guān)系，以及平面幾何中圓的性質(zhì)，考查點到直線的距離公式和向量的數(shù)量積的定義和向量共線的性質(zhì)，屬于中檔題．