20.已知雙曲線C:$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的右焦點為F,O為坐標原點,以F為圓心,$2\sqrt{3}a$為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P、Q兩點,且$\overrightarrow{FP}$•$\overrightarrow{FQ}$=-6a2,若$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OQ}$,則λ=-2或-$\frac{1}{2}$.

分析 設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x,P在x軸上方,Q在x軸的下方,H為PQ的中點,運用圓的垂徑定理和點到直線的距離公式可得FH=b,再由向量數(shù)量積的定義可得∠PFQ=120°,進而判斷PF⊥OF,求得c=2a,PQ=6a,OP=4a,OQ=2a,進而得到λ,由P在x軸下方,Q在x軸的上方,可得λ的另一個值.

解答 解:設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x,
P在x軸上方,Q在x軸的下方,
H為PQ的中點,可得FH⊥PQ,
由F(c,0)到漸近線的距離為d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b,
由$\overrightarrow{FP}$•$\overrightarrow{FQ}$=-6a2,可得2$\sqrt{3}$a•2$\sqrt{3}$a•cos∠PFQ=-6a2,
解得∠PFQ=120°,
FH=b=2$\sqrt{3}$a•cos60°=$\sqrt{3}$a,
則漸近線的斜率為$\sqrt{3}$,∠POF=60°,
由∠OPF=30°,可得PF⊥OF,
則c=2$\sqrt{3}$a•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2a,
OP=2c=4a,OQ=PQ-OP=2PH-4a=2•2$\sqrt{3}$a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$-4a=2a,
由$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OQ}$,可得λ<0,
且λ=-2;
當P在x軸下方,Q在x軸的上方,
可得λ=-$\frac{1}{2}$.
即有λ=-2或-$\frac{1}{2}$.
故答案為:-2或-$\frac{1}{2}$.

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),主要是漸近線方程的運用,考查直線和圓的位置關(guān)系,以及平面幾何中圓的性質(zhì),考查點到直線的距離公式和向量的數(shù)量積的定義和向量共線的性質(zhì),屬于中檔題.

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