Question

12．函數(shù)f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx+1（ω＞0）的最小正周期為π，當(dāng)x∈[m，n]時(shí)，f（x）至少有5個(gè)零點(diǎn)，則n-m的最小值為2π．

Answer 1

分析 將函數(shù)化簡(jiǎn)為f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+1．的最小正周期為π，可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1．可知在y軸左側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)為$-\frac{π}{6}$，右側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)為$\frac{π}{3}$，x∈[m，n]時(shí)，f（x）至少有5個(gè)零點(diǎn)，可得n-m的最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx+1（ω＞0）
化簡(jiǎn)可得：f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+1．
∵最小正周期為π，即T=π，
∴$2ω=\frac{2π}{T}$，可得ω=1．
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1．
根據(jù)正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知：函數(shù)f（x）的y軸左側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)為$-\frac{π}{6}$，右側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)為$\frac{π}{3}$，x∈[m，n]時(shí)，f（x）至少有5個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)m=$-\frac{π}{6}$，則n=$\frac{11π}{6}$．
此時(shí)n-m可得最小值為2π．
故答案為2π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)圖象的零點(diǎn)問題，抓住：函數(shù)f（x）的y軸左側(cè)右側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)是解題的關(guān)鍵！屬于基礎(chǔ)題．