Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n與通項a_n滿足S_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設f（x）=log₃x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），T_n=$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$，求T₂₀₁₃．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列遞推關系、等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）利用對數(shù)的運算性質(zhì)、“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）S_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$a_n，n=1時，a₁=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$a₁，解得a₁=$\frac{1}{3}$，…（1分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$a_n-$（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{a}_{n-1}）$，化為：${a}_{n}=\frac{1}{3}{a}_{n-1}$，…（3分）
即數(shù)列{a_n}是首項為$\frac{1}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，故a_n=$（\frac{1}{3}）^{n}$．…（5分）
（2）由已知可得：f（a_n）=$lo{g}_{3}（\frac{1}{3}）^{n}$=-n．…（6分）
則b_n=-1-2-…-n=-$\frac{n（n+1）}{2}$，…（8分）
故$\frac{1}{_{n}}$=-2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
又T_n=-2$[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=-2$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{-2n}{n+1}$．
∴T₂₀₁₃=-$\frac{2×2013}{2014}$=-$\frac{2013}{1007}$．…（12分）

點評 本題考查了數(shù)列遞推關系、等比數(shù)列的通項公式、對數(shù)的運算性質(zhì)、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．