Question

9．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，且2a₁=d，2a_n=a_2n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）等差數(shù)列{a_n}的公差為d，且2a₁=d，2a_n=a_2n-1，n=1時(shí)，2a₁=a₂-1，可得2a₁=a₁+2a₁-1，解得a₁，d．利用通項(xiàng)公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的公差為d，且2a₁=d，2a_n=a_2n-1，n=1時(shí)，2a₁=a₂-1，可得2a₁=a₁+2a₁-1，解得a₁=1．
∴d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+$2$（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+2×$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．