Question

2．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=2，∠DAB=60°，點M在線段DC上，且滿足$\overrightarrow{DM}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{DC}$，若N是平行四邊形ABCD內(nèi)的任意一點（含邊界），則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的取值范圍是[0，13]．

Answer 1

分析 如圖所示，建立直角坐標系．利用向量數(shù)量積運算、線性規(guī)劃的有關(guān)知識即可得出．

解答 解：如圖所示，建立直角坐標系．
可得A（0，0），B（4，0），D（1，$\sqrt{3}$），C（5，$\sqrt{3}$）．
∵$\overrightarrow{DM}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{DC}$，
∴M（2，$\sqrt{3}$）．
設(shè)N（x，y），x∈[0，5]，y∈[0，$\sqrt{3}$）．
則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=2x+$\sqrt{3}$y，
令2x+$\sqrt{3}$y=z，可得y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{\sqrt{3}}$z．
畫出$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤5}\\{0≤y≤\sqrt{3}}\end{array}\right.$的可行域，
則目標函數(shù)y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{\sqrt{3}}$z過點A（5，$\sqrt{3}$）時，z最大，最大為10+3=13，
當過點O（0，0）時，z最小，最小為0，
故$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的取值范圍是[0，13]

點評 本題考查了向量數(shù)量積運算、線性規(guī)劃的有關(guān)知識，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．