Question

10．在三棱柱ABC-A′B′C′中，△ABC是正三角形，側(cè)棱AA′⊥底面ABC，若該三棱柱各棱長相等，則直線A′C與平面BCC′B′所成角的正弦值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)，在平面ABC中過A作AC的垂線為x軸，以AC為y軸，AA′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線A′C與平面BCC′B′所成角的正弦值．

解答 解：以A為原點(diǎn)，在平面ABC中過A作AC的垂線為x軸，以AC為y軸，AA′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)該三棱柱各棱長為2，
則A′（0，0，2），C（0，2，0），B（$\sqrt{3}$，1，0），C′（0，2，2），
$\overrightarrow{{A}^{'}C}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），
$\overrightarrow{B{C}^{'}}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），
設(shè)平面BCC′B′的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}^{'}}=-\sqrt{3}x+y+2z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
設(shè)直線A′C與平面BCC′B′所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}^{'}C}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}^{'}C}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}•2}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故直線A′C與平面BCC′B′所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．