Question

2．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax-$\frac{1}{4}$．
（1）若a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）試討論函數(shù)f（x）在區(qū)間x∈（-∞，1]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)=3代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后分別由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)a分類討論，當(dāng)a≤0時(shí)，可得f（x）在區(qū)間（-∞，1]上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）-3x²+a=0，解得${x}_{1}=-\sqrt{\frac{a}{3}}＜0$，${x}_{2}=\sqrt{\frac{a}{3}}＞0$．則$-\sqrt{\frac{a}{3}}$是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值點(diǎn)，$\sqrt{\frac{a}{3}}$是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)，可得$f（-\sqrt{\frac{a}{3}}）=-\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}-\frac{1}{4}＜0$，$f（\sqrt{\frac{a}{3}}）=\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}-\frac{1}{4}$，然后分$f（\sqrt{\frac{a}{3}}）＜0$，f（$\sqrt{\frac{a}{3}}$）=0和f（$\sqrt{\frac{a}{3}}$）＞0討論得答案．

解答 解：（1）f′（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1），
由f′（x）＞0，解得-1＜x＜1，f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增；
由f′（x）＜0，解得x＜-1或x＞1，f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上單調(diào)遞減．
（2）f′（x）=-3x²+a，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≤0，f（x）在區(qū)間（-∞，1]上單調(diào)遞減，且過(guò)點(diǎn)（0，-$\frac{1}{4}$），f（-1）=$\frac{3}{4}-a$＞0，
∴f（x）在區(qū)間（-∞，1]上有唯一零點(diǎn)；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）-3x²+a=0，解得${x}_{1}=-\sqrt{\frac{a}{3}}＜0$，${x}_{2}=\sqrt{\frac{a}{3}}＞0$．
則$-\sqrt{\frac{a}{3}}$是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值點(diǎn)，$\sqrt{\frac{a}{3}}$是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)，
而$f（-\sqrt{\frac{a}{3}}）=-\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}-\frac{1}{4}＜0$，$f（\sqrt{\frac{a}{3}}）=\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}-\frac{1}{4}$，
當(dāng)$f（\sqrt{\frac{a}{3}}）＜0$，即a$＜\frac{3}{4}$時(shí)，函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上恒小于0，此時(shí)y=f（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)f（$\sqrt{\frac{a}{3}}$）=0，即a=$\frac{3}{4}$時(shí)，函數(shù)y=f（x）在（0，1]上有一個(gè)零點(diǎn)${x}_{0}=\sqrt{\frac{a}{3}}=\frac{1}{2}$，此時(shí)y=f（x）有二個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)f（$\sqrt{\frac{a}{3}}$）＞0，即a＞$\frac{3}{4}$時(shí)，若f（1）=a-$\frac{5}{4}$≤0，即a$≤\frac{5}{4}$，函數(shù)y=f（x）在（-∞，1]上有三個(gè)零點(diǎn)；
若f（1）=a-$\frac{5}{4}$＞0，即a＞$\frac{5}{4}$時(shí)，函數(shù)y=f（x）在（-∞，1]上有二個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述：當(dāng)a＜$\frac{3}{4}$時(shí)，y=f（x）在區(qū)間x∈（-∞，1]上有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a=$\frac{3}{4}$或a＞$\frac{5}{4}$時(shí)，y=f（x）在區(qū)間x∈（-∞，1]上有二個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)$\frac{3}{4}＜a≤\frac{5}{4}$時(shí)，y=f（x）在區(qū)間x∈（-∞，1]上有三個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查根的存在性與根的個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬難題．