Question

13．已知定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當(dāng)0＜x≤1時，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，則方程f（x）-1=0在（0，6）內(nèi)的零點之和為（　　）

• A． 8
• B． 10
• C． 12
• D． 16

Answer 1

分析 可根據(jù)定義在R上的奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱⇒f（x+4）=f（x），再利用0＜x≤1時，f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$≥0，數(shù)形結(jié)合，可求得方程f（x）-1=0在區(qū)間（0，6）內(nèi)的所有零點之和．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
∴f（2-x）=f（x），又y=f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期為4，
∵0＜x≤1時，f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$≥0，
∴f（x）=1在（0，1）內(nèi)有一實根x₁，又函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
∴f（x）=1在（1，2）有一個實根x₂，且x₁+x₂=2；
∵f（x）是奇函數(shù)，f（x）的周期為4，
∴f（x）=1在（2，3），（3，4）上沒有根；在（4，5），（5，6）各有一個實根x₃，x₄，x₃+x₄═10；
∴原方程在區(qū)間（0，6）內(nèi)的所有實根之和為12．
故選：C．

點評 本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷及奇偶函數(shù)圖象的對稱性，關(guān)鍵在于判斷f（x）的周期為4，再結(jié)合“0＜x≤1時，f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$”與奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，數(shù)形結(jié)合予以解決，屬于中檔題．