Question

17．已知{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，且b₂=3，b₃=9，a₁=b₁，a₁₄=b₄．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=a_n+b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）設(shè){a_n}是公差為d的等差數(shù)列，{b_n}是公比為q的等比數(shù)列，運(yùn)用通項(xiàng)公式可得q=3，d=2，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求得c_n=a_n+b_n=2n-1+3^n-1，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè){a_n}是公差為d的等差數(shù)列，
{b_n}是公比為q的等比數(shù)列，
由b₂=3，b₃=9，可得q=$\frac{_{3}}{_{2}}$=3，
b_n=b₂q^n-2=3•3^n-2=3^n-1；
即有a₁=b₁=1，a₁₄=b₄=27，
則d=$\frac{{a}_{14}-{a}_{1}}{13}$=2，
則a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）c_n=a_n+b_n=2n-1+3^n-1，
則數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為
（1+3+…+（2n-1））+（1+3+9+…+3^n-1）=$\frac{1}{2}$n•2n+$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$
=n²+$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．