Question

12．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點F₁與拋物線y²=-4x的焦點重合，橢圓E的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過點M（m，0）做斜率存在且不為0的直線l，交橢圓E于A，C兩點，點P（$\frac{5}{4}$，0），且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$為定值．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求m的值．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的焦點坐標得出橢圓E的左焦點F₁，從而求出c；由離心率求出a，再求出b²，即可寫出E的標準方程；
（2）設過點M（m，0）的直線l為y=k（x-m），代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，消去y，設出A、C坐標，
利用跟與系數(shù)的關系得出x₁+x₂與x₁x₂，計算$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$，根據$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$為定值求出m的值．

解答 解：（1）拋物線y²=-4x的焦點坐標為（-1，0），
且橢圓E的左焦點F₁與拋物線y²=-4x的焦點重合，
∴F₁（-1，0），∴c=1，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得a=$\sqrt{2}$c=$\sqrt{2}$，
∴b²=a²-c²=${（\sqrt{2}）}^{2}$-1²=1．
∴橢圓E的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）設過點M（m，0）的直線l為y=k（x-m），
代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，消去y得，（2k²+1）x²-4k²mx+2k²m²-2=0；
設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{{4k}^{2}m}{{2k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{{{2k}^{2}m}^{2}-2}{{2k}^{2}+1}$，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=（x₁-$\frac{5}{4}$）（x₂-$\frac{5}{4}$）+y₁y₂
=x₁x₂-$\frac{5}{4}$（x₁+x₂）+$\frac{25}{16}$+k²（x₁-m）（x₂-m）
=（k²+1）x₁x₂-（k²m-$\frac{5}{4}$）（x₁+x₂）+（$\frac{25}{16}$+k²m²）
=$\frac{{（k}^{2}+1）{{（2k}^{2}m}^{2}-2）}{{2k}^{2}+1}$-$\frac{{4k}^{2}m{（k}^{2}m-\frac{5}{4}）}{{2k}^{2}+1}$+（$\frac{25}{16}$+k²m²）
=$\frac{{k}^{2}（{3m}^{2}+5m-2）-2}{{2k}^{2}+1}$+$\frac{25}{16}$；
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$為定值，
∴$\frac{{k}^{2}（{3m}^{2}+5m-2）-2}{{2k}^{2}+1}$為定值，
令3m²+5m-2=-4，
則3m²+5m+2=0，
解得m=-1或m=-$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了拋物線與橢圓的定義與性質的應用問題，也考查了直線與橢圓的位置關系應用問題，是綜合性題目．