Question

13．甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員，各自的投籃命中率分別為0.5與0.8，如果每人投籃兩次．
（I）求甲比乙少投進(jìn)一次的概率．
（Ⅱ）若投進(jìn)一個(gè)球得2分，未投進(jìn)得0分，求兩人得分之和ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （I）設(shè)“甲比乙少投進(jìn)一次”為事件A，依題意可知它包含以下兩個(gè)基本事件：①甲投進(jìn)0次，乙投進(jìn)1次，記為事件B，②甲投進(jìn)1次，乙投進(jìn)2次，記為事件C，由P（A）=P（B）+P（C），能求出甲比乙少投進(jìn)一次的概率．
（II）兩人得分之和ξ的可能取值為0，2，4，6，8，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和ξ的期望Eξ．

解答 解：（I）設(shè)“甲比乙少投進(jìn)一次”為事件A，依題意可知它包含以下兩個(gè)基本事件：
①甲投進(jìn)0次，乙投進(jìn)1次，記為事件B，
則有：$P（B）={0.5^2}×{C_2}^1×0.8×（1-0.8）=0.08$，…（2分）
②甲投進(jìn)1次，乙投進(jìn)2次，記為事件C，
則有：$P（C）={C_2}^1×{0.5^2}×{0.8^2}=0.32$，…（4分）
∴P（A）=P（B）+P（C）=0.08+0.32=0.40…（5分）
答：甲比乙少投進(jìn)一次的概率為0.40．…（6分）
（II）兩人得分之和ξ的可能取值為0，2，4，6，8，
P（ξ=0）=（1-0.5）²（1-0.8）²=0.01，
P（ξ=2）=${C}_{2}^{1}0.5•0.5•（1-0.8）^{2}+{C}_{2}^{1}0.8•0.2•（1-0.5）^{2}$=0.10，
Pξ=4）=0.5²•（1-0.8）²+（1-0.5）²•0.8²+${C}_{2}^{1}0.5•0.5{C}_{2}^{1}0.8（1-0.8）$=0.33，
P（ξ=6）=${C}_{2}^{1}0.5•0.5•0．{8}^{2}+{C}_{2}^{1}0.8•（1-0.8）•0．{5}^{2}$=0.4，
P（ξ=8）=0.5²×0.8²=0.16，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	2	4	6	8
P	0.01	0.10	0.33	0.40	0.16

∴Eξ=0×0.01+2×0.10+4×0.33+6×0.40+8×0.16=5.2…（11分）
∴兩人得分之和ξ的期望Eξ為5.2．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式的合理運(yùn)用．