Question

12．等腰三角形ABC，E為底邊BC的中點，沿AE折疊，如圖，將C折到點P的位置，使P-AE-C為120°，設點P在面ABE上的射影為H．
（1）證明：點H為EB的中點；
（2）） 若$AB=AC=2\sqrt{2}，AB⊥AC$，求直線BE與平面ABP所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）證明：∠CEP為二面角C-AE-P的平面角，則點P在面ABE上的射影H在EB上，即可證明點H為EB的中點；
（2）過H作HM⊥AB于M，連PM，過H作HN⊥PM于N，連BN，則有三垂線定理得AB⊥面PHM．即面PHM⊥面PAB，HN⊥面PAB．故HB在面PAB上的射影為NB，∠HBN為直線BE與面ABP所成的角，即可求直線BE與平面ABP所成角的正弦值．

解答 （1）證明：依題意，AE⊥BC，則AE⊥EB，AE⊥EP，EB∩EP=E．
∴AE⊥面EPB．
故∠CEP為二面角C-AE-P的平面角，則點P在面ABE上的射影H在EB上．
由∠CEP=120°得∠PEB=60°．…（3分）
∴EH=$\frac{1}{2}$EP=$\frac{1}{2}EB$．
∴H為EB的中點．…（6分）
（2）解：過H作HM⊥AB于M，連PM，過H作HN⊥PM于N，連BN，
則有三垂線定理得AB⊥面PHM．即面PHM⊥面PAB，
∴HN⊥面PAB．故HB在面PAB上的射影為NB．
∴∠HBN為直線BE與面ABP所成的角．…（9分）
依題意，BE=$\frac{1}{2}$BC=2，BH=$\frac{1}{2}$BE=1．
在△HMB中，HM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在△EPB中，PH=$\sqrt{3}$，
∴在Rt△PHM中，HN=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴sin∠HBN=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．