Question

【題目】已知函數(shù)，則下列判斷中是真命題的有（ ）．

①，；②是偶函數(shù)；③對(duì)于任意一個(gè)非零有理數(shù)，，；④存在三個(gè)點(diǎn)，，，使得為等邊三角形．

A.①②③B.①②③④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，可知無(wú)論x是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)，均有f（f（x））＝1；

②根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數(shù)；

③根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的性質(zhì)；

④取x1＝，x2＝0，x3＝，可得，，，三點(diǎn)恰好構(gòu)成等邊三角形．

①∵當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，f(x)＝1；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，f(x)＝0，

∴當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，＝f(1)＝1；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，＝f(0)＝1，

即無(wú)論x是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)，均有＝1，故①正確；

②∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無(wú)理數(shù)的相反數(shù)還是無(wú)理數(shù)，

∴對(duì)任意x∈R，都有，故②正確；

③若x是有理數(shù)，則x+T也是有理數(shù)； 若x是無(wú)理數(shù)，則x+T也是無(wú)理數(shù)，

∴根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T，對(duì)x∈R恒成立，故③正確；

④取x1＝，x2＝0，x3＝，可得，

∴，，，恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．

即真命題的個(gè)數(shù)是4個(gè)，

故選：B．