Question

14．如圖所示，已知∠B=30°，∠AOB=90°，點C在AB上，OC⊥AB，點D為OB中點，OC與AD相交點H，用$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$來表示向量$\overrightarrow{OH}$，則$\overrightarrow{OH}$等于$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{OB}$．

Answer 1

分析 建立平面直角坐標系，求出點H的坐標，寫出向量$\overrightarrow{OH}$，再用向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$表示出$\overrightarrow{OH}$即可．

解答 解：建立平面直角坐標系，如圖所示，
設OA=1，則OB=$\sqrt{3}$，AB=2，AC=$\frac{1}{2}$；
∴O（0，0），A（1，0），B（0，$\sqrt{3}$），D（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
又直線OC的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，AD的方程為x+$\frac{2y}{\sqrt{3}}$=1，
兩方程聯立，解得x=$\frac{3}{5}$，y=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
∴$\overrightarrow{OH}$=（$\frac{3}{5}$，$\frac{\sqrt{3}}{5}$），
又$\overrightarrow{OA}$=（1，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，$\sqrt{3}$）；
∴$\overrightarrow{OH}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{OB}$．
故答案為：$\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{5}\overrightarrow{OB}$．

點評 本題考查了平面向量的應用問題，解題時應建立適當的坐標系，是綜合性題目．