Question

5．如圖，在四面體P-ABC中，PA=PB=PC=4，點O是點P在平面ABC上的投影，且tan∠APO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則四面體P-ABC的外接球的體積為（　�。�

• A． 8$\sqrt{6}$π
• B． 24π
• C． 32$\sqrt{3}$π
• D． 48π

Answer 1

分析 推導出AO=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，PO=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，由題意知四面體P-ABC的外接球的球心O′在線段PO上，從而O′O²+AO²=AO^'2，進而求得R=$\sqrt{6}$，由此能求出四面體P-ABC的外接球的體積．

解答 解：∵在四面體P-ABC中，PA=PB=PC=4，點O是點P在平面ABC上的投影，且tan∠APO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin∠APO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cos$∠APO=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴AO=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，PO=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
由題意知四面體P-ABC的外接球的球心O′在線段PO上，
∴O′O²+AO²=AO^'2，
∴（$\frac{4\sqrt{6}}{3}-R$）²+（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²=R²，解得R=$\sqrt{6}$，
∴四面體P-ABC的外接球的體積為8$\sqrt{6}$π．
故選：A．

點評 本題考查四面體的外接球的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意四面體、球的性質(zhì)的合理運用．