Question

10．如圖，已知△DEF與△ABC分別是棱長為1與2的正三角形，AC∥DF，四邊形BCDE為直角梯形，DE∥BC，BC⊥CD，點G為△ABC的重心，N為AB中點，AG⊥平面BCDE，M為線段AF上靠近點F的三等分點．
（Ⅰ）求證：GM∥平面DFN；
（Ⅱ）若二面角M-BC-D的余弦值為$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，試求異面直線MN與CD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連AG并延長交BC于P，推導出GM∥PF，平面ABC∥平面DEF，求出NP∥AC，又AC∥DF，從而NP∥DF，由此能證明GM∥平面DFN．
（Ⅱ）以P為原點，PC為x軸，PE為y軸，PA為z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線MN與CD所成角．

解答 證明：（Ⅰ）連AG并延長交BC于P，
因為點G為△ABC的重心，所以$\frac{AG}{AP}=\frac{2}{3}$
又$\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AF}$，所以$\frac{AG}{AP}=\frac{AM}{AF}=\frac{2}{3}$，
所以GM∥PF；
因為AC∥DF，DE∥BC，
所以平面ABC∥平面DEF，
又△DEF與△ABC分別是棱長為1與2的正三角形，N為AB中點，P為BC中點，
所以NP∥AC，又AC∥DF，
所以NP∥DF，
所以P，D，F(xiàn)，N四點共面，
所以GM∥平面DFN；
解：（Ⅱ）由題意，以P為原點，PC為x軸，PE為y軸，PA為z軸建立空間直角坐標系，
設(shè)CD=m，則C（1，0，0），D（1，m，0），A（0，0，$\sqrt{3}$），F(xiàn)（$\frac{1}{2}$，m，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（-1，0，0），N（-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵$\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AF}$，∴$M（\frac{1}{3}，\frac{2m}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，$\overrightarrow{BC}=（2，0，0），\overrightarrow{BM}=（\frac{4}{3}，\frac{2m}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$
設(shè)平面MBC的法向量$\overrightarrow n=（a，b，c）$，
則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{BM}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2a=0}\\{\frac{4}{3}a+\frac{2m}{3}b+\frac{\sqrt{3}}{3}c=0}\end{array}\right.$，取b=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow n=（0，\sqrt{3}，-2m）$，
平面BCD的法向量$\overrightarrow v=（0，0，1）$，
所以二面角M-BC-D的余弦值$cosθ=\frac{{|{\overrightarrow n•\overrightarrow v}|}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow v}|}}=\frac{2m}{{\sqrt{3+4{m^2}}}}=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，$m=\frac{{\sqrt{21}}}{6}$，
又$\overrightarrow{MN}=（\frac{-5}{6}，-\frac{2m}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{6}）$，$\overrightarrow{CD}=（0，m，0）$，

cos＜$\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{{|{\overrightarrow{NM}•\overrightarrow{CD}}|}}{{|{\overrightarrow{NM}}|•|{\overrightarrow{CD}}|}}=\frac{m}{{\sqrt{{m^2}+\frac{7}{4}}}}=\frac{1}{2}$，
∴直線MN與CD所成角為$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．