Question

已知函數f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）（a＞0，且a≠1），若F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求函F（x）的定義域；
（2）判斷函數F（x）的奇偶性；
（3）寫出函數F（x）的單調增區(qū)間．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據對數的函數的定義，真數大于0，解得即可，
（2）利用函數的奇偶性定義判斷即可，
（3）根據復合函數的單調性，同增異減，即可求出單調區(qū)間，需要分類討論．

解答： 解：（1）∵f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）（a＞0，且a≠1），
∴F（x）=f（x）+g（x）=log_a（x+1）+log_a（1-x）=log_a（1-x²），
∴

x+1＞0 1-x＞0

，
解得-1＜x＜1，
故函數F（x）的定義域為（-1，1），
（2）由（1）F（x）=log_a（1-x²），
∴F（x）=log_a[1-（-x）²]=log_a（1-x²）=F（x），
∴函數F（x）的為偶函數，
（3）設h（x）=（1-x²），x∈（-1，1），
∴h（x）在（-1，0）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，
當a＞1時，對數函數函數為增函數，
根據復合函數的單調性，得F（x）在（-1，0）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，
當0＜a＜1時，對數函數函數為增函數，
根據復合函數的單調性，得F（x）在（-1，0）上單調遞減，在（0，1）上單調遞增，

點評：本題考查了對數的函數的定義域，函數的奇偶性，復合函數的單調性，屬于基礎題．