Question

15．實數x，y滿足x²-2xy+2y²=2，則x²+2y²的最小值是4-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由2xy=2y²+x²-2，兩邊平方，設x²+2y²=m，則x²=m-2y²，代入可得8y⁴-4my²+（m-2）²=0，再設y²=t，得到8t²-4mt+（m-2）²=0，利用△≥0，解出即可．

解答 解：設x²+2y²=m，則x²=m-2y²，
∵x²-2xy+2y²=2，
∴-2xy=2-（2y²+x²），
∴4x²y²=[2-（2y²+x²）]²，
∴4y²（m-2y²）=（m-2）²，
∴8y⁴-4my²+（m-2）²=0，
設y²=t，
∴8t²-4mt+（m-2）²=0
∴△=16m²-32（m-2）²≥0，解得：4-2$\sqrt{2}$≤m≤4+2$\sqrt{2}$，
∴x²+2y²的最小值是4-2$\sqrt{2}$，
故答案為：4-2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了一元二次方程的實數根與判別式的關系、一元二次不等式的解法，屬于中檔題．