Question

【題目】在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，CD1的中點，AA1=AD=1，AB=2．
（1）求證：EF∥平面BCC1B1；
（2）求證：平面CD1E⊥平面D1DE；
（3）在線段CD1上是否存在一點Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1為45°，若存在，求 的值，不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：過F作FM∥C1D1交CC1于M，連結(jié)BM，

∵F是CD1的中點，∴FM∥C1D1，F(xiàn)M= C1D1，

又∵E是AB中點，∴BE∥C1D1，BE= C1D1，

∴BE∥FM，BE=FM，EBMF是平行四邊形，

∴EF∥BM

又BM在平面BCC1B1內(nèi)，∴EF∥平面BCC1B1．

（2）證明：∵D1D⊥平面ABCD，CE在平面ABCD內(nèi)，

∴D1D⊥CE

在矩形ABCD中，DE2=CE2=2，

∴DE2+CE2=4=CD2，

∴△CED是直角三角形，∴CE⊥DE，

∴CE⊥平面D1DE，

∵CE在平面CD1E內(nèi)，∴平面CD1E⊥平面D1DE．

（3）解：以D為原點，DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系，

則C（0，2，0），E（1，1，0），D1（0，0，1）

平面D1DE的法向量為 =（﹣1，1，0），

設(shè) =（0，2λ，﹣λ），（0＜λ＜1），則Q（0，2λ，1﹣λ），

設(shè)平面DEQ的法向量為 =（x，y，z），

則 ，令y=1，則 =（﹣1，1， ），

∵二面角Q﹣DE﹣D1為45°，∴cos45°= = = ，

由于0＜λ＜1，∴ ﹣1，

∴線段CD1上存在一點Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1為45°，且 = ．

【解析】（1）過F作FM∥C1D1交CC1于M，連結(jié)BM，推導(dǎo)出EBMF是平行四邊形，從而EF∥BM，由此能證明EF∥平面BCC1B1 ． （2）推導(dǎo)出D1D⊥CE，CE⊥DE，從而CE⊥平面D1DE，由此能證明平面CD1E⊥平面D1DE．（3）以D為原點，DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段CD1上存在一點Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1為45°，且 = ．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．