Question

11．集合A中的元素個數(shù)用符號card（A）表示，設A={x|（lnx）²+mx²lnx＞0}，N為自然數(shù)集，若card（A∩N）=3，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{ln2}{4}$，-$\frac{ln2}{8}$]
• B． （-$\frac{ln2}{8}$，-$\frac{ln5}{30}$]
• C． （-$\frac{ln2}{8}$，-$\frac{ln5}{25}$]
• D． （-$\frac{ln3}{9}$，-$\frac{ln2}{8}$]

Answer 1

分析 首先將問題轉(zhuǎn)化為方程lnx²+mx²lnx＞0 存在三個大于1的正整數(shù)根，然后構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到關于實數(shù)m的不等式組，求解不等式組即可求得最終結(jié)果．

解答 解：當 x=1時，不等式lnx²+mx²lnx＞0 不成立，
即方程lnx²+mx²lnx＞0 存在三個大于1的正整數(shù)根，
此時lnx＞0，則有l(wèi)nx+mx²＞0 成立，
當 m＞0時，恒有l(wèi)nx+mx²＞0，不合題意，即 m＜0，
令g（x）=lnx+mx²，則$g'（x）=\frac{1}{x}+2mx=\frac{2m{x}^{2}+1}{x}$，
則函數(shù)在區(qū)間$（0，\sqrt{-\frac{1}{2m}}）$上單調(diào)遞增，在區(qū)間$（\sqrt{-\frac{1}{2m}}，+∞）$ 上單調(diào)遞減，
據(jù)此可知，滿足題意時應有：$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=ln2+4m＞0}\\{g（3）=ln3+9m＞0}\\{g（4）=ln4+16m＞0}\\{g（5）=ln5+25m≤0}\end{array}\right.$，
求解不等式組可得實數(shù) m取值范圍是$（-\frac{ln2}{8}，-\frac{ln5}{25}]$．
故選：C．

點評 本題考查了集合與函數(shù)相結(jié)合的問題，考查了導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了轉(zhuǎn)化的能力．