Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-2（x∈R，a≠0），
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）=ax²+bx-2的奇偶性；
（Ⅱ）當a＜0時，方程f（x）=x的兩實根x₁，x₂ 滿足x₁＜1＜x₂＜2，求證：

b

a

＞-4．

Answer 1

分析：（1）對一次項系數(shù)b分類討論，當b=0時，利用定義，進行判斷，當b≠0時，利用奇偶性的定義進行判斷，從而得到函數(shù)的奇偶性；
（2）根據(jù)題設，方程方程f（x）=x 的兩實根x₁，x₂，轉(zhuǎn)化為g（x）=ax²+（b-1）x-2=0有兩個根x₁，x₂，滿足x₁＜1，x₂＜2，利用二次函數(shù)根的分布，列出不等式組，求解即可得到所證結(jié)論．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+bx-2（x∈R，a≠0），
當b=0時，f（x）=ax²-2，
∵f（-x）=a（-x）²-2=ax²-2，
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)；
當b≠0時，f（x）=ax²+bx-2，
∴f（-x）=a（-x）²+b×（-x）-2=ax²-bx-2，
∴f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），
∴f（x）是非奇非偶函數(shù)．
綜上所述，當b=0時，f（x）是偶函數(shù)，
當b≠0時，f（x）是非奇非偶函數(shù)．
（2）由方程f（x）=x，可得ax²+（b-1）x-2=0，
令g（x）=ax²+（b-1）x-2，
∵方程f（x）=x 的兩實根x₁，x₂，則g（x）=0的兩個根為x₁，x₂，且滿足x₁＜1＜x₂＜2，
∵a＜0，
∴g（1）＞0，且g（2）＜0，
∴a+b-1-2＞0，且4a+2（b-1）-2＜0，②
即a+b-3＞0，①且2a+b-2＜0，②
由①×2+②×（-3），可得-4a-b＞0，
∵a＜0，
∴

b

a

＞-4．
故當a＜0時，方程f（x）=x的兩實根x₁，x₂ 滿足x₁＜1＜x₂＜2時，

b

a

＞-4．

點評：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判定，在判斷奇偶性時一定要判斷定義域是否對稱，然后再利用奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性．同時考查了函數(shù)的零點與方程根的關系．函數(shù)的零點等價于對應方程的根，等價于函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標，解題時要注意根據(jù)題意合理的選擇轉(zhuǎn)化．本題還涉及了二次函數(shù)的根的分布的問題，解題時要注意抓住開口方向、對稱軸、區(qū)間端點的函數(shù)值進行求解．屬于中檔題．