Question

9．設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a²+b²+c²=1．
（Ⅰ）證明：ab+bc+ac≤1；
（Ⅱ）若$\sqrt{2}$a+$\sqrt{3}$b+2c≤|x-1|+|x+m|對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b，c，x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用基本不等式可得a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，三式相加即得結(jié)論．由
（Ⅱ）柯西不等式，我們易結(jié)合a²+b²+c²=1，得到$\sqrt{2}$a+$\sqrt{3}$b+2c≤3，再由$\sqrt{2}$a+$\sqrt{3}$b+2c≤|x-1|+|x+m|對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b，c，x恒成立，得到3≤|x-1|+|x+m|，進(jìn)而解絕對(duì)值不等式，即可得到答案．

解答 （Ⅰ）證明：由a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，
三式相加即得a²+b²+c²≥ab+bc+ca，又a²+b²+c²=1，
所以ab+bc+ca≤1．
（Ⅱ）解：∵（$\sqrt{2}$a+$\sqrt{3}$b+2c）²≤（2+3+4）（a²+b²+c²）=9
∴$\sqrt{2}$a+$\sqrt{3}$b+2c≤3
又∵$\sqrt{2}$a+$\sqrt{3}$b+2c≤|x-1|+|x+m|對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b，c，x恒成立，
∴3≤|x-1|+|x+m|，
∵|x-1|+|x+m|≥|m+1|，
∴|m+1|≥3
解得m≤-4或m≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，考查柯西不等式、絕對(duì)值不等式求解，屬于中檔題．