Question

20．三角形ABC中sinA=$\frac{4}{5}$，cosB=$\frac{5}{13}$，c=56，求sinC及三角形ABC外接圓的周長．

Answer 1

分析 由同角三角形函數(shù)的基本關(guān)系及sinC=sin（A+B）．利用兩角和的正弦公式求得sinC，利用正弦定理即可求得外接圓半徑，即可求得三角形ABC外接圓的周長．

解答 解：由cosB=$\frac{5}{13}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{12}{13}$，
∵sinB＞sinA，
∴b＞a，即B＞A，
而sinA=$\frac{4}{5}$，
∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$，
sinC=sin（A+B）
=sinAcosB+cosAsinB，
=$\frac{4}{5}$×$\frac{5}{13}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{12}{13}$，
=$\frac{56}{65}$，
由正弦定理得：2R=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{56}{\frac{56}{65}}$=65，
∴△ABC外接圓周長為65π．

點評 本題考查正弦定理的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題．