Question

12．若兩個(gè)非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2|{\overrightarrow a}|$，則向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b與\overrightarrow b-\overrightarrow a$的夾角為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2|{\overrightarrow a}|$⇒$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，設(shè)向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b與\overrightarrow b-\overrightarrow a$的夾角為θ，由cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow||\overrightarrow-\overrightarrow{a}|}$=$\frac{{\overrightarrow}^{2}{-\overrightarrow{a}}^{2}}{{4\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\frac{{3\overrightarrow{a}}^{2}{-\overrightarrow{a}}^{2}}{{4\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\frac{1}{2}$即可求得答案．

解答 解：∵非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2|{\overrightarrow a}|$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|．
設(shè)向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b與\overrightarrow b-\overrightarrow a$的夾角為θ，
則cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow||\overrightarrow-\overrightarrow{a}|}$=$\frac{{\overrightarrow}^{2}{-\overrightarrow{a}}^{2}}{{4\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\frac{{3\overrightarrow{a}}^{2}{-\overrightarrow{a}}^{2}}{{4\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
又θ∈[0，π]，
∴θ=$\frac{π}{3}$，
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|是關(guān)鍵，考查推理運(yùn)算能力，屬于中檔題．