Question

11．設函數f（x）=|2x+2|+|2x-3|．
（1）求不等式f（x）＞7 的解集；
（2）若關于x的不等式f（x）≤|3m-2|有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，得到關于x的不等式組，解出即可；（2）問題轉化為只需[f（x）]_min≤|3m-2|即可，得到關于m的不等式，解出即可．

解答 解：（1）由f（x）＞7，即|2x+2|+|2x-3|＞7，
故$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-（2x+2）-（2x-3）＞7}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x＜\frac{3}{2}}\\{（2x+2）-（2x-3）＞7}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{3}{2}}\\{（2x+2）+（2x-3）＞7}\end{array}\right.$，
解得：x＜-$\frac{3}{2}$或x＞2，
即不等式的解集是：{x|x＜-$\frac{3}{2}$或x＞2}；
（2）f（x）≤|3m-2|，
故只需[f（x）]_min≤|3m-2|即可，
又f（x）=|2x+2|+|2x-3|≥|（2x+2）-（2x-3）|=5，
∴|3m-2|≥5，即m≤-1或m≥$\frac{7}{3}$，
故m的范圍是（-∞，-1]∪[$\frac{7}{3}$，+∞）．

點評 本題考查了解絕對值不等式，考查絕對值的性質以及轉化思想，是一道中檔題．