Question

9．已知拋物線y²=2px（p＞0）上一點M（1，m）到其焦點的距離為5，則m=±4．

Answer 1

分析 由題意得：拋物線焦點F，準(zhǔn)線方程．因為點M（1，m）到其焦點的距離為5，所以點M到拋物線的準(zhǔn)線的距離為：1+$\frac{p}{2}$=5，從而得到p=8，點代入該拋物線方程求解m即可．

解答 解：∵拋物線方程為y²=2px
∴拋物線焦點為F（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$
又∵點M（1，m）到其焦點的距離為5，
∴p＞0，根據(jù)拋物線的定義，得1+$\frac{p}{2}$=5，
∴p=8，∴拋物線方程為：y²=16x．
M（1，m）在拋物線上，可得m²=16，解得m=±4
故答案為：±4．

點評 本題給出一個特殊的拋物線，在已知其上一點到焦點距離的情況下，求準(zhǔn)線方程．著重考查了拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及拋物線的基本概念，屬于基礎(chǔ)題．