Question

18．在一次水下考古活動中，某一潛水員需潛水50米到水底進行考古作業(yè)．其用氧量包含一下三個方面：①下潛平均速度為x米/分鐘，每分鐘用氧量為$\frac{1}{100}$x²升；②水底作業(yè)時間范圍是最少10分鐘最多20分鐘，每分鐘用氧量為0.3升；③返回水面時，平均速度為$\frac{1}{2}$x米/分鐘，每分鐘用氧量為0.32升．潛水員在此次考古活動中的總用氧量為y升．
（1）如果水底作業(yè)時間是10分鐘，將y表示為x的函數；
（2）若x∈[6，10]，水底作業(yè)時間為20分鐘，求總用氧量y的取值范圍；
（3）若潛水員攜帶氧氣13.5升，請問潛水員最多在水下多少分鐘（結果取整數）？

Answer 1

分析 （1）依題意下潛時間$\frac{50}{x}$分鐘，返回時間$\frac{100}{x}$分鐘，進而列式可得結論；
（2）通過基本不等式可知及x∈[6，10]可知y=$\frac{x}{2}$+$\frac{32}{x}$+6在[6，8]上單調遞減、在[8，10]上單調遞增，比較當x=6、10時的取值情況即得結論；
（3）潛水員在潛水與返回最少要用8升氧氣，則在水下時間最長為$\frac{13.5-8}{0.3}$≈18.3分鐘．

解答 解：（1）依題意下潛時間$\frac{50}{x}$分鐘，返回時間$\frac{100}{x}$分鐘，
∴y=$\frac{50}{x}×\frac{{x}^{2}}{100}+10×0.3+\frac{100}{x}×0.32$，
整理得y=$\frac{x}{2}$+$\frac{32}{x}$+3（x＞0）…（4分）
（2）由（1）同理得y=$\frac{x}{2}$+$\frac{32}{x}$+6≥14（x∈[6，10]）
函數在x∈[6，8]是減函數，x∈[8，10]是增函數，
∴x=8時，y_min=14，x=6時，y=$\frac{43}{3}$，x=10，y=$\frac{71}{5}$＜$\frac{43}{3}$，
∴總用氧量y的取值范圍是[14，$\frac{43}{3}$]；
（3）潛水員在潛水與返回最少要用8升氧氣，則在水下時間最長為$\frac{13.5-8}{0.3}$≈18.3分鐘，
所以潛水員最多在水下18分鐘．…（12分）

點評 本題考查函數模型的選擇與應用，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．