Question

12．如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥BD，DE⊥BC，∠A=60°，將△ABD，△DCE分別沿BD，DE折起，使AB∥CE．
（1）求證：AB⊥BE；
（2）若四棱錐D-ABEC的體積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求CE長并求點C到面ADE的距離．

Answer 1

分析 （1）由DE⊥CE，CE∥AB可得AB⊥DE，又AB⊥BD，得出AB⊥平面BDE，故而AB⊥BE；
（2）在平行四邊形ABCD中，設(shè)CE=x，求出AB，BE，DE，利用四棱錐D-ABEC的體積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，解出x，利用等體積求點C到面ADE的距離．

解答 （1）證明：∵DE⊥CE，AB∥CE，
∴AB⊥DE，又AB⊥BD，DE?平面BDE，BD?平面BDE，BD∩DE=D，
∴AB⊥平面BDE，∵BE?平面BDE，
∴AB⊥BE．
（2）解：∵DE⊥BE，DE⊥CE，BE∩CE=E，
∴DE⊥平面ABEC，
在平行四邊形ABCD中，設(shè)CE=x，則AB=CD=2x，DE=$\sqrt{3}$x，BE=3x，
∴V_D-ABEC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$（x+2x）×3x×$\sqrt{3}$x=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴x=1．即CE=1．
S_△ACE=$\frac{1}{2}×1×3$=$\frac{3}{2}$，S_△ADE=$\frac{1}{2}×\sqrt{13}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{39}}{2}$．
設(shè)點C到面ADE的距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\sqrt{3}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{39}}{2}h$，
∴h=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計算，考查點到平面距離的計算，屬于中檔題．