Question

3．已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（2-x），且f（x）=0的兩根平方和為10，圖象過點(diǎn)（0，3）．
（1）求f（5）的值；
（2）若函數(shù)f（x）在定義域[a，+∞）上f（x）≥8恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法設(shè)出函數(shù)的解析式，再代值計(jì)算即可，
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)f（x）在定義域[a，+∞）上f（x）≥8恒成立，可得a≥2，且a²-4a+3≥8，解得即可．

解答 解∵二次函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（0，3），
∴設(shè)f（x）=ax²+bx+3，
：∵f（x+2）=f（2-x），
∴-$\frac{2a}$=2
又故b=-4a；
故f（x）=ax²-4ax+3，
令ax²-4ax+3=0，
則△=（-4a）²-12a≥0，
x₁+x₂=4，x₁x₂=$\frac{3}{a}$；
故（x₁+x₂）²-2x₁x₂=16-2×$\frac{3}{a}$=10；
解得a=1；
∴f（x）=x²-4x+3，
∴f（5）=25-20-3=2，
（2）由（1）可知，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴函數(shù)的最小值為-1，
∵f（x）在（-∞，2）上為減函數(shù)，在（2，+∞）為增函數(shù)，函數(shù)f（x）在定義域[a，+∞）上f（x）≥8，
∴a≥2
∴a²-4a+3≥8，
即（a-5）（a+1）≥0，
解得a≥5，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[5，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的解析式的求法，利用了待定系數(shù)法，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．