Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}x-m，1≤x＜3}\\{3（x-m）（x-2m），x≥3}\end{array}\right.$，
（1）若m=2，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）恰有2個零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若m=2，化簡f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}x-2，1≤x＜3}\\{3（x-2）（x-4），x≥3}\end{array}\right.$，然后分段函數(shù)求解函數(shù)的最小值即可．
（2）①若f（x）在1≤x＜3時有1個零點，列出不等式求解；②若f（x）在1≤x＜3時無零點，則m＜0或1-m≤0，求解m的取值范圍．

解答 解：（1）若m=2，則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}x-2，1≤x＜3}\\{3（x-2）（x-4），x≥3}\end{array}\right.$，
當1≤x＜3時，f（x）=log₃x-2，-2≤f（x）≤-1，f（x）_min=-2
當x≥3時，f（x）=3（x-2）（x-4）=3（x-3）²-3，f（x）_min=-3
∴f（x）的最小值為-3．…（4分）
（2）①若f（x）在1≤x＜3時有1個零點，則m＜0或$\left\{{\begin{array}{l}{m≥0}\\{1-m＞0}\end{array}}\right.$，∴0≤m＜1
此時需f（x）在x≥3時有1個零點，
∴$2m≥3且m＜3，即\frac{3}{2}≤m＜3$∴m無解，…（8分）
②若f（x）在1≤x＜3時無零點，則m＜0或1-m≤0，即m＜0或m≥1，
此時f（x）在x≥3時有2個零點
當m＜0時，f（x）在x≥3時無零點，不符合題意，
當m≥1時，f（x）在x≥3時有2個零點，則m≥3
綜上，m的取值范圍為[3，+∞）…（12分）

點評 本題考查分段函數(shù)的應用，函數(shù)的零點個數(shù)的求法，考查轉化思想以及計算能力．