Question

設a∈R，f（x）=x²+a|x-a|+2
（1）若f（x）為偶函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（2）記f（x）的最小值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，有f（-x）=f（x），求a即可；
（2）分情況把f（a）的最小值表示出來．

解答： 解：（1）f（x）為偶函數(shù)
∴f（-x）=f（x）恒成立，
即x²+a|x+a|+2=x²+a|x-a|+2∴a=0…．（3分）
（2）當x≥a時，f（x）=x²+ax+2-a²，對稱軸為x=-

a

2

若a≤-

a

2

即a≤0時，f(x)min=f(-

a

2

)=

a2

4

-

a2

2

+2-a2=2-

5

4

a2
若a＞-

a

2

即a＞0時，f(x)min=f(a)=a2+2…（6分）
當x＜a時，f（x）=x²-ax+a²+2，對稱軸為x=

a

2

若a≤

a

2

即a≤0時，f（x）＞f（a）=a²+2
若a＞

a

2

即a＞0時，f(x)min=f(

a

2

)=

3

4

a2+2…..（9分）
a≤0時，(a2+2)-(2-

5

4

a2)=

9

4

a2≥0∴f(x)min=2-

5

4

a2，
a＞0時，(a2+2)-(

3

4

a2+2)=

a2

4

≥0
∴f(x)min=

3

4

a2+2…..（11分）
∴g(a)=

2- 5 4 a2，a≤0 3 4 a2+2，a＞0

…（13分）

點評：本題主要考查二次函數(shù)的單調(diào)性和最值得求法，屬于中檔題．