Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c，且方程f（x）+4=0有唯一解x=1，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+4]上存在零點(diǎn)，請寫出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）方程f（x）+4=0有唯一解x=1，即方程x²+bx+c+4=0有唯一解x=1，進(jìn)而由韋達(dá)定理可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由（1）可得函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)-1和3，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+4]上存在零點(diǎn)，則-1∈[a，a+4]，或3∈[a，a+4]，解得答案．

解答： 解：（1）∵方程f（x）+4=0有唯一解x=1，
即方程x²+bx+c+4=0有唯一解x=1，
故b=-（1+1）=-2，c+4=1×1=1，
即b=-2，c=-3，
∴f（x）=x²-2x-3…（6分）
（2）由f（x）=x²-2x-3=0得：
x=3，或x=-1，
∴函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)-1和3，
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+4]上存在零點(diǎn)，
則-1∈[a，a+4]，或3∈[a，a+4]，
解得：a∈[-5，3]，
即a的取值范圍是[-5，3]…（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是方程根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，零點(diǎn)的位置，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．