Question

3．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為O極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4$\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$．
（1）將圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）過點(diǎn)P（2，0）作斜率為1直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，試求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4$\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，展開可得：ρ²=4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ-sinθ），利用互化公式即可得出直角坐標(biāo)方程．
（2）直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入上述方程可得：t²+2$\sqrt{2}$t-4=0.$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$．

解答 解：（1）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4$\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，展開可得：ρ²=4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ-sinθ），
可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²-4x+4y=0．
（2）直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入上述方程可得：t²+2$\sqrt{2}$t-4=0．
t₁+t₂=-2$\sqrt{2}$，t₁t₂=-4，
則$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{8-4×（-4）}}{4}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、直線與圓相交弦長(zhǎng)問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．