Question

【題目】長(zhǎng)為的線段的兩個(gè)端點(diǎn)和分別在軸和軸上滑動(dòng).

（1）求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）當(dāng)時(shí)，曲線與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，過(guò)作軸的垂線交曲線于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，滿足與的斜率之積為-2，試求與的面積之比.

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】試題分析：（1）設(shè)線段的中點(diǎn)為，根據(jù)平面上兩點(diǎn)間的距離公式，即可求解線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）當(dāng)時(shí)，直線和直線的方程，聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得打結(jié)果．

試題解析：

設(shè)線段的中點(diǎn)為，則， ，

故，

化簡(jiǎn)得，此即線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；

【法二：當(dāng)、重合或、重合時(shí)， 中點(diǎn)到原點(diǎn)距離為；

當(dāng)、、不共線時(shí)，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，知中點(diǎn)到原點(diǎn)距離也恒為，

故線段的中點(diǎn)的軌跡的方程為】

（2）當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，它與軸的交點(diǎn)為、，

設(shè)， ， ，

直線的斜率，故直線的斜率，

直線的方程是，

而直線的方程是，即

聯(lián)立，解得，此即點(diǎn)的坐標(biāo)，

故．