Question

（2012•安徽）設函數f（x）=ae^x+

1

aex

+b（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）在[0，+∞）內的最小值；
（Ⅱ）設曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=

3

2

x，求a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設t=e^x（t≥1），則y=at+

1

at

+b，求出導函數y′=

a2t2-1

at2

，再進行分類討論：①當a≥1時，y′＞0，y=at+

1

at

+b在t≥1上是增函數；②當0＜a＜1時，利用基本不等式y=at+

1

at

+b≥2+b，當且僅當at=1（x=-lna）時，f（x）取得最小值；
（Ⅱ）求導函數，利用曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=

3

2

x，建立方程組，即可求得a，b的值．

解答：解：（Ⅰ）設t=e^x（t≥1），則y=at+

1

at

+b
∴y′=

a2t2-1

at2

①當a≥1時，y′＞0，∴y=at+

1

at

+b在t≥1上是增函數，
∴當t=1（x=0）時，f（x）的最小值為y=a+

1

a

+b
②當0＜a＜1時，y=at+

1

at

+b≥2+b，當且僅當at=1（x=-lna）時，f（x）的最小值為b+2；
（Ⅱ）求導函數，可得）f′(x)=aex-

1

aex

∵曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=

3

2

x，
∴

f(2)=3 f′(2)= 3 2

，即

ae2- 1 ae2 = 3 2 ae2+ 1 ae2 +b=3

，解得

a= 2 e2 b= 1 2

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與最值，屬于中檔題．