Question

9．求值域：
（1）y=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$），x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]；
（2）y=-3sin²x-4cosx+4．

Answer 1

分析 （1）根據x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]，求解出2x-$\frac{π}{4}$∈[$-\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]，利用余弦函數(shù)的性質求解值域即可．
（2）利用同角三角函數(shù)關系式化簡，轉為二次函數(shù)，利用其單調性求解值域即可．

解答 解：（1）函數(shù)y=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$），
∵x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]；
∴2x-$\frac{π}{4}$∈[$-\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]，
當2x-$\frac{π}{4}$=0時，函數(shù)y取得最大值為$\sqrt{2}$；
當2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$時，函數(shù)y取得最小值為-1．
故得y=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$），x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]的值域為[-1，$\sqrt{2}$]．
（2）y=-3sin²x-4cosx+4=-3（1-cos²x）-4cosx+4=3cos²x-4cosx+1，
令cosx=t，則-1≤t≤1，
函數(shù)y轉化為f（t）=3t²-4t+1，
開口向上，對稱軸t=$\frac{2}{3}$，
當t=$\frac{2}{3}$時，函數(shù)g（t）取得最小值為$-\frac{1}{3}$．
當t=-1時，函數(shù)g（t）取得最大值為8．
故得y=-3sin²x-4cosx+4的值域為[-$\frac{1}{3}$，8]．

點評 本題考查了函數(shù)值域的求法．利用了三角函數(shù)的性質和二次函數(shù)的單調性．屬于基礎題．