Question

9．己知（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ的展開式中，第五項(xiàng)與第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等．
（I ）求該展開式中所有有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；
（II）求該展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ的展開式中，第五項(xiàng)與第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，得到n=10，寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，再求出有理項(xiàng)，
（Ⅱ）由已知二項(xiàng)式可知展開式由11項(xiàng)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，由此求得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)

解答 解：（Ⅰ）∵（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ的展開式中，第五項(xiàng)與第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等∴C_n⁴=C_n⁶，
∴n=10，
∴（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$）¹⁰的通項(xiàng)為T_r+1=2^rC₁₀^rx${\;}^{5-\frac{5r}{2}}$，
∵5-$\frac{5}{2}$r=5（1-$\frac{1}{2}$r），
分別令r=0，2，4，6，8，10，
∴展開式中所有有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)第1，3，5，7，9，11項(xiàng)
（Ⅱ）二項(xiàng)式共有11項(xiàng)，最中間一項(xiàng)的系數(shù)最大，即為第6項(xiàng)
即為2⁶C₁₀⁶x^-10=13440x^-10

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，本題解題的關(guān)鍵是正確利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，注意和組合數(shù)聯(lián)系，屬于中檔題