Question

13．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，且a_n=4$+（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，若對(duì)于任意的n∈N*，都有1≤x（S_n-4n）≤3恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是[1，6]．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列通項(xiàng)公式利用分組求和可得S_n，代入1≤x（S_n-4n）≤3，分離參數(shù)x，然后利用數(shù)列的函數(shù)特性求出最值得答案．

解答 解：由a_n=4$+（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，得
S_n=a₁+a₂+…+a_n=4n+[1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$-…+$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$]
=4n+$\frac{1×[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1+\frac{1}{2}}$=4n+$\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$．
∴S_n-4n=$\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$＞0，
則由1≤x（S_n-4n）≤3恒成立，得
$\frac{1}{\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}≤x≤\frac{3}{\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}$．
當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1}{\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}$有最小值為1；
當(dāng)n=2時(shí)，$\frac{3}{\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}$有最大值為6．
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是[1，6]．
故答案為：[1，6]．

點(diǎn)評(píng) 本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，考查數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．