Question

5．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，四邊形ABB₁A₁是邊長(zhǎng)為1的正方形，若E，F(xiàn)分別是CB₁，BA₁的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）若AC⊥CB₁，求幾何體BCA₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得F為AB₁的中點(diǎn)，利用中位線定理得出EF∥AC，故而得出EF∥平面ABC；
（2）由BB₁⊥AC，AC⊥CB₁得出AC⊥平面BB₁C，于是AC⊥BC，從而利用勾股定理求出AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入棱錐的體積公式即可得出四棱錐的體積．

解答 證明：（1）連接AB₁，
∵ABB₁A₁為正方形，F(xiàn)為A₁B的中點(diǎn)，
∴F為AB₁中點(diǎn)，又E為CB₁中點(diǎn)，
∴EF∥AC，
又EF?平面ABC，AC?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
解：（Ⅱ）∵BB₁⊥平面ABC，AC?面ABC，
∴BB₁⊥AC，
又∵AC⊥CB₁，BB₁?平面BB₁C，B₁C?平面BB₁C，BB₁∩B₁C=B₁，
∴AC⊥平面BB₁C，
∵BC?平面BB₁C，
∴AC⊥BC，
∵AC=BC，AB=1，
∴AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴${V_{{A_1}-BC{C_1}{B_1}}}=\frac{1}{3}{S_{BC{C_1}{B_1}}}•AC=\frac{1}{3}•1•\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．