Question

20．已知矩陣A=$[\begin{array}{l}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{array}]$，B=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{2}\end{array}]$．
（1）求AB；
（2）若曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到另一曲線C₂，求C₂的方程．

Answer 1

分析 （1）按矩陣乘法規(guī)律計(jì)算；
（2）求出變換前后的坐標(biāo)變換規(guī)律，代入曲線C₁的方程化簡(jiǎn)即可．

解答 解：（1）AB=$（\begin{array}{l}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{2}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{0}&{2}\\{1}&{0}\end{array}）$，
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）為曲線C₁的任意一點(diǎn)，
點(diǎn)P在矩陣AB的變換下得到點(diǎn)P′（x₀，y₀），
則$（\begin{array}{l}{0}&{2}\\{1}&{0}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{2y}\\{x}\end{array}）$，即x₀=2y，y₀=x，
∴x=y₀，y=$\frac{{x}_{0}}{2}$，
∴$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}=1$，即x₀²+y₀²=8，
∴曲線C₂的方程為x²+y²=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩陣乘法與矩陣變換，屬于中檔題．