Question

5．設函數f（x）=（1-x²）e^x．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）當x≥0時，f（x）≤ax+1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，求出極值點，利用導函數的符號，判斷函數的單調性即可．
（2）化簡f（x）=（1-x）（1+x）e^x．f（x）≤ax+1，下面對a的范圍進行討論：
①當a≥1時，②當0＜a＜1時，設函數g（x）=e^x-x-1，則g′（x）=e^x-1＞0（x＞0），推出結論；③當a≤0時，推出結果，然后得到a的取值范圍．

解答 解：（1）因為f（x）=（1-x²）e^x，x∈R，
所以f′（x）=（1-2x-x²）e^x，
令f′（x）=0可知x=-1±$\sqrt{2}$，
當x＜-1-$\sqrt{2}$或x＞-1+$\sqrt{2}$時f′（x）＜0，當-1-$\sqrt{2}$＜x＜-1+$\sqrt{2}$時f′（x）＞0，
所以f（x）在（-∞，-1-$\sqrt{2}$），（-1+$\sqrt{2}$，+∞）上單調遞減，在（-1-$\sqrt{2}$，-1+$\sqrt{2}$）上單調遞增；
（2）由題可知f（x）=（1-x）（1+x）e^x．下面對a的范圍進行討論：
①當a≥1時，設函數h（x）=（1-x）e^x，則h′（x）=-xe^x＜0（x＞0），
因此h（x）在[0，+∞）上單調遞減，
又因為h（0）=1，所以h（x）≤1，
所以f（x）=（1-x）h（x）≤x+1≤ax+1；
②當0＜a＜1時，設函數g（x）=e^x-x-1，則g′（x）=e^x-1＞0（x＞0），
所以g（x）在[0，+∞）上單調遞增，
又g（0）=1-0-1=0，
所以e^x≥x+1．
因為當0＜x＜1時f（x）＞（1-x）（1+x）²，
所以（1-x）（1+x）²-ax-1=x（1-a-x-x²），
取x₀=$\frac{\sqrt{5-4a}-1}{2}$∈（0，1），則（1-x₀）（1+x₀）²-ax₀-1=0，
所以f（x₀）＞ax₀+1，矛盾；
③當a≤0時，取x₀=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$∈（0，1），則f（x₀）＞（1-x₀）（1+x₀）²=1≥ax₀+1，矛盾；
綜上所述，a的取值范圍是[1，+∞）．

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的單調性以及函數的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．