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13.已知函數(shù)fx=12ax22a+1x+2lnxxR
(Ⅰ)若曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,求a的值;
(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

分析 (Ⅰ)求出原函數(shù)的導函數(shù),得到f′(1),f′(3)的值,由f′(1)=f′(3)列式求得a值;
(Ⅱ)f′(x)=ax2a1+2x=ax22a+1x+2x(x>0).然后對a分類討論求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

解答 解:(Ⅰ)f′(x)=ax2a1+2x,
f′(1)=-a+1,f′(3)=a-13,
由f′(1)=f′(3),得-a+1=a-13,
解得a=23;
(Ⅱ)f′(x)=ax2a1+2x=ax22a+1x+2x(x>0).
若a=0,f′(x)=x+2x
當x∈(0,2)時,f′(x)>0,當x∈(2,+∞)時,f′(x)<0,
∴函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,2),減區(qū)間為(2,+∞).
令g(x)=ax2-(2a+1)x+2.
若0<a12,方程ax2-(2a+1)x+2=0的兩根為x1=2,x2=1a,且2<1a
當x∈(0,2)∪(1a,+∞)時,g(x)>0,即f′(x)>0;當x∈(2,1a)時,g(x)<0,即f′(x)<0.
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2),(1a,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(2,1a).
若a=12,g(x)≥0,即f′(x)≥0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).
若a>12,方程ax2-(2a+1)x+2=0的兩根為x1=1a,x2=2,且1a<2.
當x∈(0,1a)∪(2,+∞)時,g(x)>0,即f′(x)>0;當x∈(1a,2)時,g(x)<0,即f′(x)<0.
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1a),(2,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(1a,2).
若a<0,程ax2-(2a+1)x+2=0的兩根為x1=1a,x2=2,且1a<0.
當x∈(0,2)時,g(x)>0,即f′(x)>0;當x∈(2,+∞)時,g(x)<0,即f′(x)<0.
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2);單調(diào)減區(qū)間為(2,+∞).
綜上,當a≤0時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2);單調(diào)減區(qū)間為(2,+∞).
當0<a<12時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2),(1a,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(2,1a).
當a=12時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).
當a12時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1a),(2,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(1a,2).

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程,考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法,是中檔題.

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