分析 (Ⅰ)求出原函數(shù)的導函數(shù),得到f′(1),f′(3)的值,由f′(1)=f′(3)列式求得a值;
(Ⅱ)f′(x)=ax−2a−1+2x=ax2−(2a+1)x+2x(x>0).然后對a分類討論求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
解答 解:(Ⅰ)f′(x)=ax−2a−1+2x,
f′(1)=-a+1,f′(3)=a-13,
由f′(1)=f′(3),得-a+1=a-13,
解得a=23;
(Ⅱ)f′(x)=ax−2a−1+2x=ax2−(2a+1)x+2x(x>0).
若a=0,f′(x)=−x+2x.
當x∈(0,2)時,f′(x)>0,當x∈(2,+∞)時,f′(x)<0,
∴函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,2),減區(qū)間為(2,+∞).
令g(x)=ax2-(2a+1)x+2.
若0<a<12,方程ax2-(2a+1)x+2=0的兩根為x1=2,x2=1a,且2<1a.
當x∈(0,2)∪(1a,+∞)時,g(x)>0,即f′(x)>0;當x∈(2,1a)時,g(x)<0,即f′(x)<0.
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2),(1a,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(2,1a).
若a=12,g(x)≥0,即f′(x)≥0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).
若a>12,方程ax2-(2a+1)x+2=0的兩根為x1=1a,x2=2,且1a<2.
當x∈(0,1a)∪(2,+∞)時,g(x)>0,即f′(x)>0;當x∈(1a,2)時,g(x)<0,即f′(x)<0.
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1a),(2,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(1a,2).
若a<0,程ax2-(2a+1)x+2=0的兩根為x1=1a,x2=2,且1a<0.
當x∈(0,2)時,g(x)>0,即f′(x)>0;當x∈(2,+∞)時,g(x)<0,即f′(x)<0.
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2);單調(diào)減區(qū)間為(2,+∞).
綜上,當a≤0時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2);單調(diào)減區(qū)間為(2,+∞).
當0<a<12時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2),(1a,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(2,1a).
當a=12時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).
當a>12時,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1a),(2,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(1a,2).
點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程,考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法,是中檔題.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | [1,2] | B. | [2,4] | C. | [√7-1,√7+1] | D. | [√5-1,√5+1] |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | \sqrt{3}+1 | D. | \sqrt{3}+2 |
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A. | 推理與證明 | B. | 統(tǒng)計案例 | ||
C. | 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 | D. | 框圖 |
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A. | 董事長 | B. | 監(jiān)事會 | C. | 總經(jīng)理 | D. | 總工程師 |
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