Question

18．設復數(shù)z=cosθ-sinθ+$\sqrt{2}$+i（cosθ+sinθ），當θ為何值時，|z|取得最大值，并求此最大值．

Answer 1

分析 |z|=$\sqrt{（cosθ-sinθ+\sqrt{2}）^{2}+（cosθ+sinθ）^{2}}$=$\sqrt{4+4cos（θ+\frac{π}{4}）}$．利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．

解答 解：|z|=$\sqrt{（cosθ-sinθ+\sqrt{2}）^{2}+（cosθ+sinθ）^{2}}$=$\sqrt{4+2\sqrt{2}（cosθ-sinθ）}$=$\sqrt{4+4cos（θ+\frac{π}{4}）}$．
當$cos（θ+\frac{π}{4}）$=1時，即θ=2kπ-$\frac{π}{4}$（k∈Z）時，|z|取得最大值為2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性與值域、模的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．