Question

已知{a_n}為等差數(shù)列，公差d≠0，{a_n}的部分項恰為等比數(shù)列，若k₁=1，k₂=5，k₃=17，
（1）求k_n；
（2）求k₁+2k₂+3k₃+…+nk_n．

Answer 1

解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q
∵k₁=1，k₂=5，k₃=17
∴a₁•a₁₇=a₅² 即 a₁（a₁+16d）=（a₁+4d）²，
得 a₁d=2d²
∵d≠0∴a₁=2d，
∵
∴k_n=2×3^n-1-1，n∈N*
（2）k₁+2k₂+3k₃+…+nk_n
=（2×3⁰-1）+2×（2×3¹-1）+…+n×（2×3^n-1-1）
=2×（1×3⁰+2×3¹+…+n×3^n-1）-（1+2+…+n）
設(shè)S_n=1×3⁰+2×3¹+…+n×3^n-1，
則3S_n=1×3¹+2×3²+…+n×3ⁿ，
兩式相減得：
∴
∴k₁+2k₂+3k₃+…+nk_n=
分析：（1）通過數(shù)列中k₁=1，k₂=5，k₃=17時成等比數(shù)列，求出a₁與d的關(guān)系，然后求出數(shù)列的公比，然后利用的值求出k_n；
（2）利用（1）的結(jié)果，直接寫出k₁+2k₂+3k₃+…+nk_n得到一個等差數(shù)列，和一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項乘積的數(shù)列，通過錯位相減法求出和即可．
點評：本題是中檔題，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列的通項公式，前n項和的求法，注意錯位相減法的應(yīng)用，考查計算能力，常考題型．