Question

11．如圖，設(shè)鐵路AB長為50，BC⊥AB，且BC=10，為將貨物從A運(yùn)往C，現(xiàn)在AB上距點(diǎn)B為x的點(diǎn)M處修一公路至C，已知單位距離的鐵路運(yùn)費(fèi)為2，公路運(yùn)費(fèi)為4．
（1）將總運(yùn)費(fèi)y表示為x的函數(shù)；
（2）如何選點(diǎn)M才使總運(yùn)費(fèi)最�。�

Answer 1

分析 （1）由已知中鐵路AB長為50，BC⊥AB，且BC=10，為將貨物從A運(yùn)往C，現(xiàn)在AB上距點(diǎn)B為x的點(diǎn)M處修一公路至C，已知單位距離的鐵路運(yùn)費(fèi)為2，公路運(yùn)費(fèi)為4，我們可計(jì)算出公路上的運(yùn)費(fèi)和鐵路上的運(yùn)費(fèi)，進(jìn)而得到由A到C的總運(yùn)費(fèi)；
（2）由（1）中所得的總運(yùn)費(fèi)y表示為x的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法，我們可以分析出函數(shù)的單調(diào)性，及函數(shù)的最小值點(diǎn)，得到答案．

解答 解：（1）依題中，鐵路AB長為50，BC⊥AB，且BC=10，
將貨物從A運(yùn)往C，現(xiàn)在AB上距點(diǎn)B為x的點(diǎn)M處修一公路至C，
且單位距離的鐵路運(yùn)費(fèi)為2，公路運(yùn)費(fèi)為4
∴鐵路AM上的運(yùn)費(fèi)為2（50-x），公路MC上的運(yùn)費(fèi)為4 $\sqrt{100{+x}^{2}}$，
則由A到C的總運(yùn)費(fèi)為y=2（50-x）+4 $\sqrt{100{+x}^{2}}$（0≤x≤50）…（6分）
（2）y′=-2+$\frac{4x}{\sqrt{100{+x}^{2}}}$（0≤x≤50），
令y′=0，
解得x=$\frac{10}{\sqrt{3}}$，或x=-$\frac{10}{\sqrt{3}}$（舍）…（9分）
當(dāng)0≤x≤$\frac{10}{\sqrt{3}}$時(shí)，y′≤0；當(dāng)$\frac{10}{\sqrt{3}}$≤x≤50時(shí)，y′≥0
故當(dāng)x=$\frac{10}{\sqrt{3}}$時(shí)，y取得最小值．…（12分）
即當(dāng)在距離點(diǎn)B為$\frac{10}{\sqrt{3}}$時(shí)的點(diǎn)M處修筑公路至C時(shí)總運(yùn)費(fèi)最省．…（13）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)在最大值最小值問題中的應(yīng)用，函數(shù)最值的應(yīng)用，其中根據(jù)已知條件求出函數(shù)的解析式，并確定函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的關(guān)鍵．