Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值，若過點A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，則切線方程是（　�。�

• A、9x+y-16=0
• B、9x-y+16=0
• C、x+9y-16=0
• D、x-9y+16=0

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出f'（x），因為函數(shù)在x=±1處取得極值，即得到f'（1）=f'（-1）=0，代入求出a與b得到函數(shù)解析式，再判斷點A（0，16）不在曲線上，設(shè)切點為M（x₀，y₀），分別代入導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)中寫出切線方程，因為A點在切線上，把A坐標(biāo)代入求出切點坐標(biāo)即可求出切線方程．

解答： 解：f'（x）=3ax²+2bx-3，依
題意，f'（1）=f'（-1）=0，
即

3a+2b-3=0 3a-2b-3=0

解得a=1，b=0．
∴f（x）=x³-3x，
∵曲線方程為y=x³-3x，點A（0，16）不在曲線上．
設(shè)切點為M（x₀，y₀），
則點M的坐標(biāo)滿足y₀=x₀³-3x₀．
因f'（x₀）=3（x₀²-1），
故切線的方程為y-y₀=3（x₀²-1）（x-x₀）
注意到點A（0，16）在切線上，有16-（x₀³-3x₀）=3（x₀²-1）（0-x₀）
化簡得x₀³=-8，
解得x₀=-2．
所以，切點為M（-2，-2），切線方程為9x-y+16=0．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要注意過點的切線和在點處的切線的不同．