Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n（S_n≠0），a₁=$\frac{1}{2}$，且對(duì)任意正整數(shù)n，都有a_n+1+S_nS_n+1=0，則a₁+a₂₀=$\frac{1}{210}$．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n（S_n≠0），a₁=$\frac{1}{2}$，且對(duì)任意正整數(shù)n，都有a_n+1+S_nS_n+1=0，可得S_n+1-S_n+S_nS_n+1=0，S_n≠0．化為$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n（S_n≠0），a₁=$\frac{1}{2}$，且對(duì)任意正整數(shù)n，都有a_n+1+S_nS_n+1=0，
∴S_n+1-S_n+S_nS_n+1=0，S_n≠0．
∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=1，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為2．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+（n-1），可得：S_n=$\frac{1}{n+1}$．
∴S₂₀=$\frac{20（{a}_{1}+{a}_{20}）}{2}$=$\frac{1}{21}$，解得a₁+a₂₀=$\frac{1}{210}$．
故答案為：$\frac{1}{210}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．