Question

19．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，A₁，A₂為其左、右頂點(diǎn)，以線段F₁F₂為直徑的圓與雙曲線的漸進(jìn)線在第一象限的交點(diǎn)為M，且∠MA₁A₂=45°，則雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)條件得到圓的方程以及漸近線方程，聯(lián)立求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合tan∠MA₁A₂=$\frac{2a}$=tan45°求出a，b之間的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率即可．

解答 解：由題得以F₁F₂為直徑的圓的圓心是（0，0），半徑為：c；
故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²+y²=c²；
又雙曲線的其中一條漸近線方程為：y=$\frac{a}$x
聯(lián)立可得M（a，b）．
故MA₂垂直于A₁A₂；
所以tan∠MA₁A₂=$\frac{2a}$=tan45°；
所以b=2a，c=$\sqrt{5}$a．
故雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$．
故答案為$\sqrt{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．解決本題得關(guān)鍵在于根據(jù)條件得到圓的方程以及漸近線方程，聯(lián)立求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合tan∠MA₁A₂=$\frac{2a}$=tan45°求出a，b之間的關(guān)系．